Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một trong những dạng toán hình trọng yếu thuộc toán lớp 9. Mỗi công thức, mỗi bài toán thường xuyên xuất hiện trong bài xác minh trên lớp, bài xác minh học kì và bài thi chuyển cấp. Hôm nay Diện Tích biên soạn nội dung này với muốn giúp bạn tìm hiểu kĩ hơn về đề tài này. Mời bạn đón xem
A. Những hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông có 5 hệ thức cần nhớ là:
- $A{B^2} = BH.BC$
- $A{C^2} = CH.BC$
- $AB.AC = BC.AH$
- $H{A^2} = HB.HC$
- $frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{A{C^2}}}$
Theo định lý pytago với tam giác vuông (như hình), ta suy ra 3 hệ thức trọng yếu:
- $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$
- $A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}$
- $A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}$
B. Phân dạng bài tập
Ví dụ 1: Cho một tam giác ΔABC có BC = 7,5 cm, AC = 4,5 cm và AB = 6cm.
a/ Tìm đường cao AH và độ lớn các góc $widehat B$, $widehat C$.
b/ Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Định hướng giải bài toán:
Gợi động cơ:
- Để tính được góc $widehat B$, $widehat C$ và đường cao AH thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
- Để minh chứng tam giác ABC vuông cần ứng dụng định lí nào?
Từ đó giáo viên đặt vấn đề dẫn học sinh tìm đến các hệ thức để khắc phục bài toán.
Lời giải cụ thể
a/ Ta có 62 + 4,52 = 7,52 nên tam giác ABC vuông tại A.
Do đó tan B = $frac{{4,5}}{6}$ = 0,75
Suy ra $widehat B$ $ approx $ 370 và $widehat C = {90^0} – widehat B$ $ approx $530
Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A ,ta có:
$frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{B^2}}} + frac{1}{{A{C^2}}}$
Nên $frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{36}} + frac{1}{{20,25}}$ Do đó $A{H^2} = frac{{36.20,25}}{{36 + 20,25}} = 12,96$
Suy ra AH = 3,6 (cm)
b/ Để ${S_{ABC}} = {S_{MBC}}$ thì M phải cách BC một khoảng bằng AH. Do đó M phải nằm trên hai đường thẳng song song với BC cùng cách BC một khoảng bằng 3,6 cm
* Nhận xét:
Ở bài toán này ta thấy nếu giáo viên không đặt vấn đề ngay từ đầu là minh chứng tam giác ABC vuông, thì học sinh khó mang ra lời giải đúng đắn. Do đó so với dạng toán này giáo viên cần khéo léo nhắc nhỡ học sinh phải minh chứng tam giác là vuông, nếu đề bài chưa cho, để tránh tình trạng học sinh vận dụng sai lầm rồi dẫn theo kết quả sai.
Tuy nhiên trong lời giải trên khi tính AH ta ứng dụng hệ thức 4 về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Nhưng khi giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh có thể tính AH theo hệ thức 3. Bởi vì hai cạnh góc vuông và cạnh huyền đã biết.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Minh chứng rằng tam giác ABC vuông tại A <=>AB2 = BH.BC
Lời giải
Ta minh chứng hai điều :
a/ $Delta $ABC vuông tại A, AH là đường cao $ Rightarrow $ AB2 = BH.BC
Xét tam giác vuông ABC và HBA ta có góc B chung , nên
$Delta ABC sim Delta HBA$ $ Rightarrow frac{{AB}}{{HB}} = frac{{BC}}{{BA}} Rightarrow A{B^2} = BH.BC$
b/ BH . BC = AB2, AH $ bot $BC $ Rightarrow $ tam giác ABC vuông tại A
Xét hai tam giác ABC và HBA, ta thấy :
Góc B chung ; $frac{{BH}}{{BA}} = frac{{BA}}{{BC}}$ $ Rightarrow Delta ABC sim HBA$
Mà tam giác HBA vuông tại H (AH $ bot $BC) nên tam giác ABC vuông tại A.
Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy nội dung đa phần là tri thức lí thuyết để vận dụng minh chứng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác. Tuy nhiên vấn đề minh chứng khó khăn ở đây là học sinh phải nắm bắt đước tri thức cũ có liên quan. Đó là tam giác đồng dạng.
Vấn đề trái lại của bài toán này đó là phần minh chứng ở câu b.Ta thấy ở bài toán này đòi hỏi giáo viên phải khéo léo trong cách phân tích vấn đề trái lại.Tuy nhiên để học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề là một vấn đề còn gặp nhiều khó khăn. Do đó trong quá trình minh chứng cần lưu ý tính chất hai chiều như bài toán đã nêu.
Ví dụ 3: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 30cm, đường cao AH = 24cm. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại D. Tính độ dài BD.
Giải
– Ứng dụng định lý Pitago cho ΔABH => BH = 18cm.
Ứng dụng hệ thức AB2 = BH.BC => BC = $frac{{A{B^2}}}{{BH}}$ = $frac{{{{30}^2}}}{{18}}$ = 50cm
*Cách 1: Minh chứng ΔBAD vuông tại B (có$widehat {ABC} + widehat {ACB} = {90^0}$, mà $widehat {DBH} = widehat {ACB}$ (do AC//BD) nên $widehat {ABC} + widehat {DBH} = {90^0} = widehat {ABD}$)
Ứng dụng hệ thức: BH2 = AH.HD $ Rightarrow $ HD = $frac{{B{H^2}}}{{AH}}$ = $frac{{{{18}^2}}}{{24}}$ = 13.5
$ Rightarrow $ AD = AH + HD =24+13.5=37.5 (cm)
– Ứng dụng hệ thức: BD2 = HD.AD $ Rightarrow $ BD = 22,5cm
*Cách 2: Minh chứng ΔHBD đồng dạng ΔHAB => BD = 22,5cm
*Nhận xét:
- Ở cả 2 cách giáo viên cần định hướng cho học sinh tính BH và BC để làm nền tảng cho việc tính toán BD.
- So với cách 1 thì Note học sinh phải chứng tỏ được tam giác ABD là tam giác vuông tại B thì mới ứng dụng hệ thức lượng được.
- Ở cách 2 thì cho học sinh nhìn hình và suy đoán các hệ thức , từ đó có thể suy đoán các cặp đoạn thẳng tỉ lệ và khi đó ứng dụng hợp lý để minh chứng $Delta $HBD đồng dạng với ΔHAB và từ đó tính được BD.
- Thông qua việc giải các bài tập dạng này tập cho học sinh biết lựa chọn phương án để tính toán cho thích hợp trong từng bài, đặc biệt sẽ thiên về khả năng tư duy để tìm lời giải bài toán.
Những công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông ở trên là rất trọng yếu nhất là với học sinh lớp 9. Do đó các bạn phải có thái độ học nghiêm túc ngay từ đầu để nhớ đúng đắn mỗi công thức bởi mỗi công thức sẽ giúp ta giải các bài toán dể hoặc khó trở nên dễ dàng hơn cho kết quả đúng đắn. Kì vọng nội dung này đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập cũng như tra cứu.
