Trong nội dung hôm nay, mình sẽ chia sẻ một đề tài khá hay là hình nón cụt. Bạn đã từng nghe hoặc biết tới những công thức tính diện tích hay thể tích của hình nón cụt chưa? Nếu chưa và bạn đang quan tâm thì cùng mình xem nội dung nội dung này nhé bởi nó được viết ra dành cho những người như bạn đó. Khởi đầu nào
Hình chóp cụt là gì?
Là một trường hợp đặc biệt của hình chóp khi ta dùng một mặt phẳng tưởng tượng song song với mặt đáy của hình chóp để cắt. Nghĩa là hình chóp cụt hai mặt đáy song song với nhau (xem xét hình dưới)
Từ hình vẽ trên, ta thấy
- Các mặt đáy chóp cụt là hình tròn
- Nó có hai mặt đáy bán kính không bằng nhau r2 > r1(nếu bằng thì là hình trụ)
- h là khoảng cách từ mặt đáy bán kính r2 tới mặt đáy bán kính r1
- ℓ được gọi là đường sinh của hình chóp cụt
Thể tích hình nón cụt
Nếu bạn hiểu rằng diện tích hoặc bán kính của 2 mặt đáy hình nón cụt thì thể tích của nó được xác nhận theo công thức tổng quát:
Giải thích:
- B; B’ lần lượt là diện tích của 2 mặt đáy (thường nhà cung cấp là m2)
- h là khoảng cách ngắn nhất giữa 2 mặt đáy ( hay còn gọi là chiều cao), nhà cung cấp là m
- π = 3,1416
- V là thể tích của khối chóp cụt (m3)
- r1; r2 lần lượt là bán kính của các mặt đáy (m)
Diện tích hình nón cụt
Khi nói tới diện tích của khối nón cụt ta cần nhớ ngay 2 công thức là
- Diện tích xung quanh
- Diện tích toàn phần
Lưu ý: Đường sinh ℓ được tính theo công thức $ell = sqrt {{h^2} + {{left( {{r_2} – {r_1}} right)}^2}} $
Bài tập
Bài tập 1. Một hình chóp cụt có các thông số kỹ thuật như hình vẽ. Hãy tìm thể tích; diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp cụt này
Lời giải
Từ hình vẽ, ta thấy
- Đường kính đáy nhỏ là d1 = 40 cm => bán kính đáy nhỏ ${r_1} = frac{{{d_1}}}{2} = frac{{40}}{2} = 20left( {cm} right)$
- Đường kính đáy lớn là d2 = 50 cm => bán kính đáy lớn ${r_2} = frac{{{d_2}}}{2} = frac{{50}}{2} = 25left( {cm} right)$
- Chiểu cao của hình h = 6 m.
Dựa vào công thức tính thể tích của hình chóp cụt ở trên, ta thay số vào
$begin{array}{l} V = frac{{pi h}}{3}left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} right) ,,,,,, = frac{{pi .6}}{3}left( {{{20}^2} + {{25}^2} + 20.25} right) ,,,,,, = 9581,857592left( {{m^3}} right) end{array}$
Mặt khác, khi biết đường sinh ℓ = 10 thì ta tính được
- Diện tích xung quanh: Sxq = π.(r1 + r2).
ℓ =
π.(20 + 25).
10 = 1413,716694 (m2)
- Diện tích toàn phần:
[begin{array}{l} {S_{tp}} = pi left( {r_1^2 + r_2^2 + left( {{r_1} + {r_2}} right).ell } right) ,,,,,,, = pi left[ {{{20}^2} + {{25}^2} + left( {20 + 25} right).10} right] ,,,,,,, = 4633,849164left( {{m^2}} right) end{array}]
Bài tập 2. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay (H), một mặt phẳng chứa trục của (H) cắt (H) theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của (H) (nhà cung cấp cm3).
A. ${{V}_{left( H right)}}=23pi $.
B. ${{V}_{left( H right)}}=13pi $.
C. ${{V}_{left( H right)}}=frac{41pi }{3}$.
D. ${{V}_{left( H right)}}=17pi $.
Hướng dẫn giải
Chọn giải đáp C.
Thể tích khối trụ là Vtru=Bh=π.1,52.4=9π. Thể tích khối nón là ${{V}_{non}}=frac{1}{3}pi {{2}^{2}}.4=frac{16pi }{3}$.
Thể tích phần giao là: ${{V}_{p.giao}}=frac{1}{3}pi {{1}^{2}}.2=frac{2pi }{3}$. Vậy ${{V}_{left( H right)}}=9pi +frac{16pi }{3}-frac{2pi }{3}=frac{41pi }{3}$.
Bài tập 3. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.
A. $V=frac{125left( 1+sqrt{2} right)pi }{6}$.
B. $V=frac{125left( 5+2sqrt{2} right)pi }{12}$.
C. $V=frac{125left( 5+4sqrt{2} right)pi }{24}$.
D. $V=frac{125left( 2+sqrt{2} right)pi }{4}$.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1
Khối tròn xoay gồm 3 phần:
Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng $frac{5}{2}$ có thể tích ${{V}_{1}}=pi times {{left( frac{5}{2} right)}^{2}}times 5=frac{125pi }{4}$.
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng $frac{5sqrt{2}}{2}$ có thể tích
${{V}_{2}}=frac{1}{3}times pi times {{left( frac{5sqrt{2}}{2} right)}^{2}}times frac{5sqrt{2}}{2}=frac{125pi sqrt{2}}{12}$
Phần 3: khối nón cụt có thể tích là
${{V}_{3}}=frac{1}{3}pi times frac{5left( sqrt{2}-1 right)}{2}times left( {{left( frac{5sqrt{2}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{5}{2} right)}^{2}}+frac{5sqrt{2}}{2}times frac{5}{2} right)=frac{125left( 2sqrt{2}-1 right)pi }{24}$.
Vậy thể tích khối tròn xoay là
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=frac{125pi }{4}+frac{125pi sqrt{2}}{12}+frac{125left( 2sqrt{2}-1 right)pi }{24}=frac{125left( 5+4sqrt{2} right)pi }{24}$.
Cách 2 :
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông $ABCD$ là ${{V}_{T}}=pi {{R}^{2}}h=frac{125pi }{4}$
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông $XEYF$ là ${{V}_{2N}}=frac{2}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{125pi sqrt{2}}{6}$
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác $XDC$ là ${{V}_{{{N}’}}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{125pi }{24}$
Thể tích cần tìm $V={{V}_{T}}+{{V}_{2N}}-{{V}_{{{N}’}}}=125pi frac{5+4sqrt{2}}{24}$.
Bài tập 4. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $frac{1}{3}$ chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là $15cm$
A.$0,188left( cm right)$.
B. $0,216left( cm right)$.
C. $0,3left( cm right)$.
D. $0,5,left( cm right)$.
Hướng dẫn giải
– Phương pháp: Tính thể tích của phần hình nón không chứa nước, từ đó suy ra chiều cao $h’$, chiều cao của nước bằng chiều cao phễu trừ đi $h’$.
Công thức thể tích khối nón: $V=frac{1}{3}pi {{text{R}}^{2}}.h$
– Cách giải:
Gọi bán kính đáy phễu là $R$, chiều cao phễu là $h=15left( cm right)$, do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng $frac{1}{3}h$ nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là $frac{1}{3}R$. Thể tích phễu và thể tích nước lần lượt là $V=frac{1}{3}pi {{text{R}}^{2}}.15=5pi {{text{R}}^{2}}left( c{{m}^{3}} right)$ và ${{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{left( frac{R}{3} right)}^{2}}.frac{15}{3}=frac{5}{27}pi {{text{R}}^{2}}left( c{{m}^{3}} right)$. Suy ra thể tích phần khối nón không chứa nước là ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5pi {{text{R}}^{2}}-frac{5}{27}pi {{text{R}}^{2}}=frac{130}{27}pi {{text{R}}^{2}}left( c{{m}^{3}} right)$
$Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{26}{27}left( 1 right)$. Gọi $h’$ và $r$là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, có
$frac{h’}{h}=frac{r}{R}Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{h{{‘}^{3}}}{{{h}^{3}}}=frac{h{{‘}^{3}}}{{{15}^{3}}}left( 2 right)$
Từ (1) và (2) suy ra $h’=5sqrt[3]{26}Rightarrow {{h}_{1}}=15-5sqrt[3]{26}approx 0,188left( cm right)$
Mục bài tập cũng phần kết của nội dung chia sẻ về đề tài hình nón cụt. Kì vọng những chia sẻ tri thức về công thức tính thể tích, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón cụt này đã giúp bạn hiểu thêm một dạng hình học thông dụng, giúp bạn thích học toán hơn. Ngoài ra, bạn có thể xem thêm đề tài hình nón đã được biên soạn khá công. Chúc bạn học tập hiệu quả.
