Cách khai căn và tính căn bậc 2
Hãy Mang Ra 1 Giá Trị
x =
(sqrt{x}) =
Làm tròn số thập phân
Đồ Thị Và Công Thức
(sqrt{x} = sqrt[2]{x^1} = x^{frac{1}{2}})
(sqrt[n]{x^m} = x^{frac{m}{n}})
(sqrt[n.p]{x^{m.p}} = sqrt[n]{x^m} = x^{frac{m}{n}})
(sqrt[n]{x.y} = sqrt[n]{x}.sqrt[n]{y})
(sqrt[n]{frac{x}{y}} = frac{sqrt[n]{x}}{sqrt[n]{y}})
(sqrt[n]{sqrt[m]{x}} = sqrt[m]{sqrt[n]{x}} = sqrt[m.n]{x})
Trong toán học, căn bậc hai của một số a là một số x sao cho ()(x^2 = a), hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì = a.
Ví dụ: 4 và -4 là căn bậc hai của 16 vì (4^2 = (-4)^2 = 16)
Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai số học, ký hiệu (sqrt{a}), ở đây (sqrt{}) được gọi là dấu căn.
Ví dụ: căn bậc hai số học của 9 là 3, ký hiệu (sqrt{9} = 3), vì (3^2 = 3 × 3 = 9) và 3 là số không âm.
Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: (sqrt{a}) là căn bậc hai dương và (-sqrt{a}) là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là (±sqrt{a}) (xem dấu ±). Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi “căn bậc hai” thường đề cập đến căn bậc hai số học. So với số dương, căn bậc hai số học cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là (a^{frac{1}{2}}).
Căn bậc hai của số âm có thể được tranh luận trong khuôn khổ số phức.
Tính Chất Và Sử Dụng
Hàm số căn bậc hai chính (f(x) = sqrt{x}) (thường chỉ gọi là “hàm căn bậc hai”) là một hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc hai của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và có thể trình diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương. Về phương diện hình học, đồ thị của hàm căn bậc hai xuất phát từ gốc tọa độ và có dạng một nửa parabol.
So với mọi số thực x
(sqrt{x^2} = |x| = begin{cases}x, , , nếu , , x ≥ 0 -x, , , nếu , , x < 0end{cases})
(sqrt{x} = x^{frac{1}{2}})
So với mọi số thực không âm x và y,
(sqrt{xy} = sqrt{x}sqrt{y})
So với mọi số thực không âm x và và số thực dương y,
(sqrt{frac{x}{y}} = frac{sqrt{x}}{sqrt{y}})
Hàm số căn bậc hai là hàm liên tục với mọi x không âm và khả vi với mọi x dương. Nếu f biểu thị hàm căn bậc hai thì đạo hàm của f là: (f'(x) = frac{1}{2sqrt{x}})
Căn bậc hai của số không âm được dùng trong khái niệm chuẩn Euclid (và khoảng cách Euclid), cũng như trong những sự tổng quát hóa như không gian Hilbert. Nó xác nhận khái niệm độ lệch chuẩn trọng yếu sử dụng trong lý thuyết xác suất và thống kê, được dùng trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai; trường bậc hai,…, đóng vai trò trọng yếu trong đại số và có ứng dụng trong hình học. Căn bậc hai xuất hiện thường xuyên trong các công thức toán học cũng như vật lý.
Tính Căn Bậc Hai
Hiện tại phần lớn PC bỏ túi đều có phím căn bậc hai. Các bảng tính PC và software khác cũng thường được sử dụng để tính căn bậc hai. PC bỏ túi thường thực hiện những chương trình hiệu quả, như phương pháp Newton, để tính căn bậc hai của một số thực dương. Khi tính căn bậc hai bằng bảng lôgarit hay thước lôga, có thể lợi dụng đồng nhất thức
(sqrt{a} = e^{frac{lna}{2}}) hay (sqrt{a} = 10^{frac{(log_{10}a)}{2}})
Trong số đó ln và (log_{10}) lần lượt là lôgarit tự nhiên và lôgarit thập phân.
Vận dụng phương pháp thử (thử và sai, trial-and-error) có thể ước tính (sqrt{a}) và thêm bớt cho tới khi đủ độ đúng đắn thiết yếu. Giờ xét một ví dụ đơn giản, để tính (sqrt{6}), trước tiên tìm hai số chính phương gần nhất với số dưới dấu căn, một số to hơn và một số nhỏ hơn, đó là 4 và 9. Ta có (sqrt{4} < sqrt{6} < sqrt{9}) hay (2 < sqrt{6} < 3), từ đây có thể nhận thấy (sqrt{a}) nhỏ hơn và gần 2,5, chọn giá trị ước tính là 2,4. Có (2,4^2 = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5^2) suy ra (2,4 < sqrt{6} < 2,5); từ đây tiếp tục thấy rằng (sqrt{6}) gần với trung bình của 2,4 và 2,5, vậy giá trị ước đoán tiếp theo là 2,45…
Phương pháp lặp thông dụng nhất để tính căn bậc hai mà không dùng PC được biết tới với tên gọi “phương pháp Babylon hay “phương pháp Heron” theo tên người trước tiên mô tả nó, triết gia người Hy Lạp Heron of Alexandria. Phương pháp này sử dụng sơ đồ lặp tương tự phương pháp Newton–Raphson khi ứng dụng hàm số (y = f(x) = x^2 – a). Thuật toán là sự lặp lại một phương pháp tính đơn giản mà kết quả sẽ ngày càng gần hơn với căn bậc hai thực mỗi lần lặp lại. Nếu x ước tính to hơn căn bậc hai của một số thực không âm a thì (frac{a}{x}) sẽ nhỏ hơn và bởi vậy trung bình của hai số này sẽ là giá trị đúng đắn hơn bản thân mỗi số. Tuy nhiên, bất đẳng thức AM-GM nêu ra giá trị trung bình này luôn to hơn căn bậc hai thực, do đó nó sẽ được dùng như một giá trị ước tính mới to hơn đáp số thực để lặp lại quá trình. Sự hội tụ là hệ quả của việc các kết quả ước tính lớn và nhỏ hơn gần nhau hơn sau mỗi bước tính. Để tìm x:
- Khởi đầu với một giá trị x dương bất kỳ. Giá trị này càng gần căn bậc hai của a thì càng cần ít bước lặp lại để đạt độ đúng đắn muốn.
- Thay thế x bằng trung bình (frac{(x + frac{a}{x})}{2}) của x và (frac{a}{x}).
- Lặp lại bước 2, sử dụng giá trị trung bình này như giá trị mới của x.
Vậy, nếu (x_0) là đáp số phỏng đoán của (sqrt{a}) và (x_{n + 1} = frac{(x_n + frac{a}{x_n})}{2}) thì mỗi (x_n) sẽ xấp xỉ với (sqrt{a}) hơn với n to hơn.
Ứng dụng đồng nhất thức (sqrt{a} = 2^{-n}sqrt{4^na}), việc tính căn bậc hai của một số dương có thể được đơn giản hóa thành tính căn bậc hai của một số trong khoảng [1, 4). Điều này giúp tìm giá trị đầu cho phương pháp lặp gần hơn với đáp số chuẩn xác.
Một phương pháp hữu ích khác để tính căn bậc hai là thuật toán thay đổi căn bậc n, ứng dụng cho n = 2.
Căn Bậc Hai Của Số Âm Và Số Phức
Bình phương của mọi số dương và âm đều là số dương, và bình phương của 0 là 0. Bởi vậy, không số âm nào có căn bậc hai thực. Tuy nhiên ta có thể tiếp tục với một tập hợp số bao quát hơn, gọi là tập số phức, trong đó chứa đáp số căn bậc hai của số âm. Một số mới, ký hiệu là i (thỉnh thoảng là j, đặc biệt trong điện học, ở đó “i” thường mô tả dòng điện), gọi là nhà cung cấp ảo, được khái niệm sao cho (i^2 = -1). Từ đây ta có thể tưởng tượng i là căn bậc hai của -1, nhưng để ý rằng ((-i)^2 = i^2 = -1) do đó -i cũng là căn bậc hai của -1. Với quy ước này, căn bậc hai chính của -1 là i, hay tổng quát hơn, nếu x là một số không âm bất kỳ thì căn bậc hai chính của -x là (sqrt{-x} = isqrt{x})
Vế phải đích thực là căn bậc hai của -x, bởi
((isqrt{x})^2 = i^2(sqrt{x})^2 = (-1)x = -x)
So với mọi số phức z khác 0 tồn tại hai số w sao cho (w^2 = z): căn bậc hai chính của z và số đối của nó.
Cách Tìm Căn Bậc Hai Theo Cách Thủ Công
Đây là một văn nghệ hầu hết bị lãng quên: một văn nghệ, với sự ra đời của PC điện tử, có thể sẽ tồn tại đến thế kỷ XXI chỉ trên giấy và trong ký ức của những người già.
Số bạn muốn tìm căn bậc hai là bao nhiêu? Đây là một trong những chúng tôi sẽ sử dụng:
46656
Trước nhất, chia số có căn bậc hai thành các cặp chữ số, xuất phát từ dấu thập phân. Có nghĩa là, không có cặp chữ số nào nên đặt dấu chấm thập phân. (Ví dụ: tách 1225 thành “12 25” thay vì “1 22 5”; 6,5536 thành “6. 55 36” thay vì “6,5 53 6”.)
Sau đó, bạn có thể đặt một số dòng trên mỗi cặp chữ số và một thanh ở bên trái, giống như trong phép chia dài.
+ — —- —-
| 4 66 56
Tìm số lớn nhất mà bình phương của chúng nhỏ hơn hoặc bằng cặp chữ số đứng đầu. Trong trường hợp này, cặp chữ số đứng đầu là 4; số lớn nhất có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 4 là 2.
Đặt số đó ở phía bên trái, và phía trên cặp chữ số trước tiên.
2
+ — —- —-
2 | 4 66 56
Lúc này bình phương số đó và trừ đi cặp chữ số hàng đầu.
2
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
0
Mở rộng dấu ngoặc trái; nhân chữ số cuối cùng (và duy nhất) của số bên trái với 2, đặt nó ở bên trái của hiệu số bạn vừa tính và để lại một chữ số thập phân trống bên cạnh nó.
2
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
4_ | 0
Sau đó mang cặp chữ số tiếp theo xuống và đặt nó ở bên phải của sự khác biệt.
2
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
4_ | 0 66
Tìm số lớn nhất để điền vào vị trí thập phân trống này sao cho số đó, nhân với số đã có cộng với vị trí thập phân, sẽ nhỏ hơn hiệu hiện tại. Ví dụ: xem 1 * 41 là ≤ 66, sau đó 2 * 42 ≤ 66, v.v. Trong trường hợp này là 1. Đặt số này vào ô trống bạn đã để lại và ở vị trí thập phân tiếp theo trên hàng kết quả ở trên cùng.
2 1
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
41 | 0 66
Lúc này trừ sản phẩm bạn vừa tìm được.
2 1
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
41 | 0 66
| – 41
+ ——–
25
Lúc này, lặp lại như trước: Lấy số ở cột bên trái (ở đây, 41) và nhân đôi chữ số cuối cùng của nó (cho bạn 42). Sao chép phần này bên dưới vào cột bên trái và để lại một khoảng trống bên cạnh nó. (Nhân đôi chữ số cuối cùng với mang: ví dụ: nếu bạn không có 41 mà là 49, là 40 + 9, chúng ta nên sao chép xuống 40 + 18 là 58.) Ngoài ra, hãy xóa cặp chữ số tiếp theo ở bên phải.
2 1
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
41 | 0 66
| – 41
+ ——–
42_ 25 56
Lúc này, hãy tìm chữ số lớn nhất (gọi nó là #) sao cho 42 # * # ≤ 2556. Ở đây, hóa ra đúng đắn là 426 * 6 = 2556.
2 1 6
+ — —- —-
2 | 4 66 56
| -4
+ —-
41 | 0 66
| – 41
+ ——–
426 | 25 56
| – 25 56
+ ————-
0
Khi sự khác biệt bằng 0, bạn có một căn bậc hai đúng đắn và bạn đã hoàn thiện. Nếu không, bạn có thể tiếp tục tìm thêm các chữ số thập phân bao lâu tùy thích.
Đây là một ví dụ khác, với ít chú thích hơn.
7. 2 8 0 1 …
+ ———————-
7 | 53. 00 00 00 00 00
| 49
+ ———————-
142 | 4 00
| 2 84
+ ———————-
1448 | 1 16 00
| 1 15 84
+ ———————-
14560 | 16 00
| 0
+ ———————-
145601 | 16 00 00
| 14 56 01
+ ———————-
| 1 43 99 00
