Công thức nội suy là gì? hướng dẫn công thức nội suy tuyến tính – hỏi gì?
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.62 MB, 59 trang )
Δ ? ?0
?! ℎ ?
Chứng minh quy nạp công thức trên như sau:
?? =
Giả sử đã có công thức trên đúng với mọi ? < ?, ta chứng minh nó đúng với ?: Thay ? = ? ? vào ta có: ? ? = ?0 + ?Δ?0 + ?(? − 1) 2 ?(? − 1) … (? − ? + 1) ? Δ ?0 + ⋯ + Δ ?0 + ⋯ + ? ? . ?! ℎ ? 2! ?! Mà theo (3.12) thì ? ? = ?0 + ?Δ?0 + ?(? − 1) 2 ?(? − 1) … (? − ? + 1) ? Δ ?0 + ⋯ + Δ ?0 + ⋯ + Δ ? ?0 2! ?! ⇒ Δ ? ?0 = ? ? . ?! ℎ ? ⇒ ? ? = Δ ? ?0 ?! ℎ ? Vậy công thức trên đúng với mọi i. Lưu ý rằng trong chứng minh công thức trên, ta chỉ quan tâm tới thứ tự các thừa số, do vậy nếu trong công thức ?(?), ứng với số hạng ? có dạng ? ? (? − ? ? )(? − ? ?−1 ) … (? − ? ?−?+1 ) Thì ta sẽ có Δ ? ?0 ?! ℎ ? Và quy tắc này cũng đúng cho các công thức Newton lừi, Gauss mà ta sẽ đề cập đến sau. ?? = Trong công thức trên nếu thực hiện việc đổi biến ? = ?0 + ?ℎ ta được: Δ2 ?0 Δ ? ?0 ?(? − 1) + ⋯ + ?(? − 1)(? − 2) … (? − ? + 1) 2! ?! Do đa thức nội suy bậc n là duy nhất cho nên đây cũng chính là công thức Lagrange được viết và tính một cách đơn giản hơn mà thôi, do vậy cho nên nó phải có cùng một sai số: ?(?0 + ?ℎ) = ?0 + Δ?0 ? + ?(?) = 6.2. ? (?+1) (?) Δ ?+1 ?0 ?(?) ≈ ?(?) (? + 1)! (? + 1)! ℎ ?+1 Công thức Newton lùi Tương tự, ta muốn công thức nội suy có dạng:
?(?) = ?0 + ?1 (? − ? ? ) + ?2 (? − ? ? )(? − ? ?−1 ) + ⋯ + ? ? (? − ? ? ) … (? − ?1 )
(3.15)
Và vấn đề đặt ra cũng là xác định các hệ số ? ? bằng bao nhiêu. Ta cũng thay ? = ? ? vào hai vế của công thức
trên và lần lượt tìm ra các giá trị ? ? đó. Tuy nhiên ở đây ta theo thứ tự ngược lại, thay lần lượt ? bởi ? ? , ? ?−1 , …
theo đúng thứ tự mà các mốc đó xuất hiện trong công thức nội suy. Nếu viết lại số hạng thứ ? của công thức trên
ta được ? ? (? − ? ?−? )(? − ? ?−?−1 ) … (? − ? ? ) nên theo lưu ý ở cuối 6.1 ta có:
?? =
6.3.
Δ ? ? ?−?
?! ℎ ?
Công thức Gauss I và II
Các mốc nội suy đi từ giữa sang 2 phía:
Ta muốn công thức nội suy có dạng
?(?) = ?0 + ?1 (? − ?0 ) + ?2 (? − ?0 )(? − ?1 ) + ?3 (? − ?−1 )(? − ?0 )(? − ?1 ) + ⋯
Và tương tự ta có:
(3.16)
Δ?0
;
1! ℎ
Δ2 ?1
Δ3 ?−1
?2 =
;
?3 =
2! ℎ2
3! ℎ3
Δ2? ? ?
Δ(2?+1) ?−?
?2? =
;
?2?+1 =
(2?)! ℎ2?
(2? + 1)! ℎ2?+1
Với sơ đồ thứ tự mốc nội suy như sau:
?0 = ?0 ;
?1 =
Lùi
Tiến
Lùi
Tiến
?−2
?−1
?0
?1
?2
Và ta có quy luật ? ? như sau:
1. Xuất phát từ ? ? thì ?0 = ? ?
Δ? ??
, vấn đề là xác định 1 như thế
?!ℎ ?
?−1 ?
Δ
?
? ?−1 = (?−1)!ℎ ?−1 thì
Δ? ? ?
?? =
nếu mốc nội suy thứ ? là tiến
?!ℎ ?
Δ? ?
? ? = ?!ℎ?−1 nếu mốc nội suy thứ ? là lùi.
?
2. Ta luôn có ? ? =
Giả sử
a.
b.
nào? Ta có quy tắc sau đây:
Quy tắc này luôn đúng với mọi công thức nội suy có mốc nội suy cách đều và với các mốc nội suy như sau:
Tiến
Lùi
Tiến
Lùi
?−2
?−1
?0
?1
?2
Ta có công thức Gauss II (một lùi một tiến)
?(?) = ?0 + ?1 (? − ?0 ) + ?2 (? − ?−1 )(? − ?0 ) + ?3 (? − ?−1 )(? − ?0 )(? − ?1 ) + ⋯
Với:
?0 = ?0
Δ2 ?−1
?2 =
2! ℎ2
Δ2? ?−?
?2? =
(2?)! ℎ2?
?1 =
?3 =
Δ?−1
ℎ
Δ3 ?−2
3! ℎ3
?2?+1 =
Δ2?+1 ?−?
(2? + 1)! ℎ2?+1
(3.19)
(3.18)
6.4.
Công thức Stirling
Là trung bình cộng của 2 công thức Gauss I và Gauss II.
Nếu thực biện việc biến đổi ? = ?0 + ?ℎ ta có các công thức cụ thể sau:
Gauss I
?(?0 + ?ℎ) = ?0 +
(? + 1)?(? − 1) 3
?
?(? − 1) 2
Δ?0 +
Δ ?−1 +
Δ ?−1 + ⋯
1!
2!
3!
Gauss II
?(?0 + ?ℎ) = ?0 +
(? + 1)? 2
(? + 1)?(? − 1) 3
?
Δ?−1 +
Δ ?−1 +
Δ ?−2 + ⋯
1!
2!
3!
Stirling
(? + 1)?(? − 1) Δ3 ?−1 + Δ3 ?−2
? Δ?0 + Δ?−1 ? 2 2
+ Δ ?−1 +
+⋯
1!
2
2!
3!
2
Ta có thể ghi nhớ các công thưc đó qua bảng sai phân sau:
?(?0 + ?ℎ) = ?0 +
x
y
Δ
Δ2
Δ3
⁞
⁞
⁞
⁞
⁞
y-1
x-1
Δ2y-2
Δy-1
x0
Δ3y-2
Δ y-1
2
y0
Δy0
x1
Δy1
y3
Δ y1
Δy2
⁞
xn
Newton tiến
⁞
⁞
⁞
⁞
Gauss II
Δ3y0
2
y2
x3
Δ y-1
Gauss I
3
Δ2y0
y1
x2
…
Newton lùi
Δ2yn-3
Δ2yn-2
yn
Δyn-1
Nhận xét:
Các công thức trên đều là các dạng khác nhau của công thức Lagrange.
Thêm mốc nội suy, chúng ta chỉ phải tính thêm các số hạng ở phía sau kể từ mốc nội suy mới được
thêm vào.
Sai số trong mọi công thức trên luôn là:
? (?+1) (?)
Δ ?+1 ?
?(?) =
?(?) ≈
?(?)
(? + 1)!
(? + 1)! ℎ ?+1
Δ ?+1 ?
Để ý rằng (?+1)!ℎ ?+1 ?(?) như là số hạng tiếp theo trong công thức nội suy có sai phân nếu ta thêm
vào một mốc nội suy nữa. Điều đó có nghĩa là số hạng thứ ? + 1 trong mỗi công thức nội suy chính là
sai số của phép nội suy đa thức qua ? mốc nội suy, điều đó có nghĩa là cứ thêm mốc nội suy thì đa thức
sẽ được tăng lên một số hạng mà giá trị của nó xấp xỉ sai số của bước trước đó! Và như vậy thì mọi giá
trị của hàm nội suy sẽ được điều chỉnh chính xác hơn một chút, đúng bằng giá trị của sai số ở bước
trước đó!
Trong các công thức sai phân, do số hạng thứ ? + 1 là sai số của phép nội suy qua k mốc đầu nên điều
đó có nghĩa là tầm quan trọng của các mốc nội suy giảm dần theo thứ tự chúng được sử dụng trong
các công thức, ví dụ với công thức Newton tiến thì ?0 là quan trọng nhất, tiếp đó là ?1 , ?2 , … Do vậy để
có thể có giá trị của ?(?) với độ chính xác cao, ta nên dùng công thức cho từng vị trí của ? trong đoạn
[?0 , ? ? ], cụ thể:
o ? gần ?0 : dùng công thức Newton tiến
o ? gần ?: dùng công thức Newton lùi
o ? gần giữa: dùng công thức Gauss I hoặc II
Do vậy mà khi ? gần với các mốc nội suy nào thì ta sẽ dùng công thức nội suy tương ứng với mốc đầu
tiên gần với nó nhất có thể.
Bài 7. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SAI PHÂN
7.1.
Tính giá trị đa thức
Giả sử ta cần tính ?(?) bậc ? và ta đã biết giá trị tại ? + 1 điểm ?0 , ?1 , … , ? ? .
Trường hợp 1:
Nếu ? + 1 điểm đó là bất kỳ, ta dùng công thức Lagrange để xác định nội suy, và đó cũng chính là ?(?).
Thay ? vào ta được giá trị ?(?).
Ví dụ: Cho đa thức bậc 3 với các giá trị theo bảng:
x
0
2
3
-1
y
1
5
19
-1
Khi đó:
?(?) =
(? − 0)(? − 3)(? + 1)
(? − 0)(? − 2)(? + 1)
(? − 2)(? − 3(? + 1)
.1 +
.5 +
. 19
(0 − 2)(0 − 3)(0 + 1)
(2 − 0)(2 − 3)(2 + 1)
(3 − 0)(3 − 2)(3 + 1)
(? − 0)(? − 2)(? − 3)
+
. (−1)
(−1 − 0)(−1 − 2)(−1 − 3)
= ?3 − ?2 + 1
Lúc đó chẳng hạn ta có ?(1) = 1; ?(4) = 49
Trường hợp 2
Nếu các mốc nội suy cách đều và điểm ? cần tính cũng cách đều, ta lập bảng sai phân và tính được mọi ? ? và
?
Δ ? ? , từ đó suy ra ?(?)
Ví dụ: Nếu ?(?) là đa thức bậc 3 như ở ví dụ trên, hãy tính ?(4).
Ta lập bảng sai phân:
x
y
0
1
Δ2y
Δ3y
1
1
Δ
0
4
4
2
5
6
10
14
3
19
4
49
30
Gán Δ3 ?1 = Δ3 ?0 = 6 rồi tính ngược lại Δ2 ?2 , Δ?3 , & ?4
Và ta được ?(4) = 49.
6
16
7.2.
Tính tổng
Giả sử cần tính:
?
? ? = ∑ ?2
?=1
Ta có:
Δ? ? = ? ?+1 − ? ? = (? + 1)2
Δ? ? là một đa thức bậc 2, vậy ? ? là đa thức bậc 3 và nếu nội suy nó bởi một đa thức bậc 3, ta được chính nó.
Lập bảng sai phân với 4 mốc ta có:
?
??
1
5
Δ2 ? ?
Δ3 ? ?
1
2
Δ? ?
4
5
9
3
14
4
2
7
30
16
Và áp dụng một trong các công thức nội suy chẳng hạn:
Công thức Newton tiến với ?0 = 1
4
5
2
? ? = 1 + (? − 1) + (? − 1)(? − 2) + (? − 1)(? − 2)(? − 3)
1!
2!
3!
1
= ?(? + 1)(2? + 1)
6
Công thức Newton lùi với ? ? = 4
16
7
2
? ? = 30 + (? − 4) + (? − 4)(? − 3) + (? − 4)(? − 3)(? − 2)
1!
2!
3!
1
= ?(? + 1)(2? + 1)
6
Công thức Gauss I với ?0 = 3
16
7
2
? ? = 14 + (? − 3) + (? − 3)(? − 4) + (? − 3)(? − 4)(? − 2)
1!
2!
3!
1
= ?(? + 1)(2? + 1)
6
Công thức Gauss II với ?0 = 3
9
7
2
? ? = 14 + (? − 3) + (? − 3)(? − 2) + (? − 3)(? − 2)(? − 4)
1!
2!
3!
1
= ?(? + 1)(2? + 1)
6
Thậm chí có ta có thể lập luận:
? ? phải là một đa thức bậc ? nào đó
Δ? ?? = 0
Vậy cứ lập bảng sai phân với ? = 1,2,3, … mốc cho tới khi có cột Δ ? ? ? = 0 thì dừng lại
Dùng bất kỳ một công thức sai phân nào ta muốn.
Ở đây ? ? là đa thức bậc 3 nên đa thức nội suy bậc 3 là chính nó.
7.3.
Nội suy (Theo nghĩa thông thường)
Cho hàm số ?(?) dưới dạng bảng. Hãy tính ?(?) tại một giá trị nào đó.
[PPT] Đa Thức Nội Suy Largrange & Newton